Användbara tips

Lösningen av kvadratiska ekvationer

Pin
Send
Share
Send
Send


Den här artikeln behandlar formens standard kvadratiska ekvation:

Artikeln hämtar en formel för rötter av en kvadratisk ekvation med metoden att komplettera till en hel kvadratisk, numeriska värden istället en, b, c kommer inte att ersättas.

ax 2 + bx + c = 0 2 Dela båda sidorna av ekvationen med och.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 Subtrahera s / a från båda sidor av ekvationen.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 Dela koefficienten vid x (b / a) med 2 och kvadrat sedan resultatet. Lägg till resultatet på båda sidor av ekvationen.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 Förenkla uttrycket genom att faktorisera vänster sida och lägga till termerna på höger sida (hitta först den gemensamma nämnaren).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a2) + (b2 / 4a2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 Extrahera kvadratroten från varje sida av ekvationen.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b 2 - 4ac) / 4a 2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 Subtrahera b / 2a från båda sidor och du får formeln för rötter till kvadratisk ekvation.

diskriminantanalys

Låt den kvadratiska ekvationen ax 2 + bx + c = 0. Sedan - detta är bara siffran D = b 2 - 4 ac.

Denna formel måste vara känd utifrån. Där det kommer från är nu obetydligt. En annan sak är viktig: med diskriminantens tecken kan du bestämma hur många rötter den kvadratiska ekvationen har. nämligen:

  1. Om D D = 0 finns det exakt en rot,
  2. Om D> 0 kommer det att finnas två rötter.

Obs: diskriminanten anger antalet rötter, och inte alls deras tecken, som av någon anledning tror många. Ta en titt på exemplen så kommer du att förstå allt själv:

Uppgift. Hur många rötter har kvadratiska ekvationer:

  1. x 2 - 8 x + 12 = 0,
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0,
  3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

Vi skriver ut koefficienterna för den första ekvationen och finner diskriminerande:
a = 1, b = −8, c = 12,
D = (−8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

Så, diskriminanten är positiv, så ekvationen har två olika rötter. På liknande sätt analyserar vi den andra ekvationen:
a = 5, b = 3, c = 7,
D = 3 2 - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = −131.

Diskrimineraren är negativ, det finns inga rötter. Den sista ekvationen återstår:
a = 1, b = −6, c = 9,
D = (−6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

Diskrimineraren är noll - roten kommer att vara en.

Observera att koefficienter har skrivits för varje ekvation. Ja, det är länge, ja, det är tråkigt - men du kommer inte att misstaga koefficienterna och göra dumma misstag. Välj själv: hastighet eller kvalitet.

Förresten, om du "tar handen i det" efter en stund behöver du inte skriva ut alla odds. Du kommer att utföra sådana operationer i huvudet. De flesta människor börjar göra det någonstans efter 50-70 lösta ekvationer - i allmänhet inte så mycket.

Rötterna till kvadratisk ekvation

Låt oss nu gå vidare till lösningen. Om diskriminanten är D> 0, kan rötterna hittas med formlerna:

Den grundläggande formeln för rötter till kvadratisk ekvation

När D = 0 kan du använda någon av dessa formler - du får samma nummer, vilket kommer att vara svaret. Slutligen, om D x 2 - 2 x - 3 = 0,

  • 15 - 2 x - x 2 = 0,
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • Första ekvationen:
    x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = −2, c = −3,
    D = (−2) 2 - 4 · 1 · (−3) = 16.

    D> 0 ⇒ ekvationen har två rötter. Hitta dem:

    Den andra ekvationen:
    15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = −1, b = −2, c = 15,
    D = (−2) 2 - 4 · (−1) · 15 = 64.

    D> 0 ⇒ ekvationen har återigen två rötter. Hitta dem

    Slutligen den tredje ekvationen:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36,
    D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ ekvationen har en rot. Du kan använda valfri formel. Till exempel den första:

    Som du kan se av exemplen är allt mycket enkelt. Om du känner till formlerna och kan räkna kommer det inte att finnas några problem. Oftast uppstår fel när negativa koefficienter ersätts med formeln. Här igen kommer tekniken som beskrivs ovan att hjälpa: titta på formeln bokstavligen, skriva ner varje steg - och bli mycket snabbt av med fel.

    Ofullständiga kvadratiska ekvationer

    Det händer att den kvadratiska ekvationen skiljer sig något från vad som ges i definitionen. Till exempel:

    Det är lätt att märka att en av termerna saknas i dessa ekvationer. Sådana kvadratiska ekvationer är ännu lättare att lösa än de vanliga: de behöver inte ens ta hänsyn till diskrimineraren. Så vi introducerar ett nytt koncept:

    Ekvationen ax 2 + bx + c = 0 kallas om b = 0 eller c = 0, d.v.s. koefficienten för variabeln x eller det fria elementet är noll.

    Naturligtvis är ett mycket svårt fall möjligt när båda dessa koefficienter är lika med noll: b = c = 0. I detta fall har ekvationen formen a x 2 = 0. Uppenbarligen har en sådan ekvation en enda rot: x = 0.

    Överväg de återstående fallen. Låt b = 0, då får vi en ofullständig kvadratisk ekvation av formen ax 2 + c = 0. Vi transformerar den något:

    Lösning av en ofullständig kvadratisk ekvation

    Eftersom den aritmetiska kvadratroten endast existerar från ett icke-negativt tal, är den sista jämlikheten bara meningsfull för (- c / a) ≥ 0. Slutsats:

    1. Om ojämlikheten (- c / a) ≥ 0 rymmer en ofullständig kvadratisk ekvation av formen ax 2 + c = 0 kommer det att finnas två rötter. Formeln anges ovan
    2. Om (- c / a) c / a) ≥ 0. Det räcker med att uttrycka mängden x 2 och se vad som finns på andra sidan av lika tecknet. Om det finns ett positivt antal kommer det att finnas två rötter. Om det är negativt kommer det inte att finnas några rötter alls.

    Nu kommer vi att hantera ekvationer med formen ax 2 + bx = 0, där det fria elementet är lika med noll. Allt är enkelt här: det kommer alltid att finnas två rötter. Det räcker för att faktorera polynomet:

    Konsolidera den gemensamma faktorn

    Produkten är noll när minst en av faktorerna är noll. Härifrån är rötter. Sammanfattningsvis analyserar vi flera sådana ekvationer:

    Uppgift. Lös kvadratiska ekvationer:

    x 2 - 7 x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0, x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Det finns inga rötter, för kvadratet kan inte vara lika med ett negativt tal.

    4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5, x 2 = −1,5.

    Exempel på kvadratiska ekvationer

    • 5x 2 - 14x + 17 = 0
    • −x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • x 2 + 0,25x = 0
    • x 2 - 8 = 0

    För att hitta "a", "b" och "c" måste du jämföra din ekvation med den allmänna formen för kvadratisk ekvation "ax 2 + bx + c = 0".

    Låt oss öva på att definiera koefficienterna a, b och c i kvadratiska ekvationer.

    ekvationkoefficienter
    5x 2 - 14x + 17 = 0
    • a = 5
    • b = −14
    • c = 17
    −7x 2 - 13x + 8 = 0
    • a = −7
    • b = −13
    • c = 8
    −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • a = −1
    • b = 1
    • c =
      1
      3
    x 2 + 0,25x = 0
    • a = 1
    • b = 0,25
    • c = 0
    x 2 - 8 = 0
    • a = 1
    • b = 0
    • c = −8

    Hur man löser kvadratiska ekvationer

    Till skillnad från linjära ekvationer används en speciell formel för att hitta rötter för att lösa kvadratiska ekvationer.

    För att lösa den kvadratiska ekvationen du behöver:

    • minska kvadratisk ekvation till den allmänna formen "ax 2 + bx + c = 0". Det vill säga bara "0" ska vara kvar på höger sida,
    • använd formeln för rötter:

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Låt oss titta på ett exempel på hur man använder formeln för att hitta rötter till en kvadratisk ekvation. Lös kvadratisk ekvation.

    Ekvationen "x 2 - 3x - 4 = 0" har redan reducerats till den allmänna formen "ax 2 + bx + c = 0" och kräver inte ytterligare förenklingar. För att lösa det behöver vi bara ansöka formeln för att hitta rötter till kvadratisk ekvation.

    Definiera koefficienterna "a", "b" och "c" för denna ekvation.

    ekvationkoefficienter
    x 2 - 3x - 4 = 0
    • a = 1
    • b = −3
    • c = −4

    Ersätt dem i formeln och hitta rötterna.

    x 2 - 3x - 4 = 0
    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    x1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    x1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    x1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    x1,2 =
    3 ± 5
    2

    x1 =
    3 + 5
    2
    x2 =
    3 − 5
    2
    x1 =
    8
    2
    x2 =
    −2
    2
    x1 = 4x2 = −1

    Svar: x1 = 4, x2 = −1

    Se till att memorera formeln för att hitta rötter.

    x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a

    Med sin hjälp löses alla kvadratiska ekvationer.

    I formeln "x1,2 =
    −b ± √ b 2 - 4ac
    2a
    »Ersätter ofta radikalt uttryck
    "B 2 - 4ac" i bokstaven "D" och kallas diskriminerande. Begreppet diskriminerande diskuteras mer detaljerat i lektionen ”Vad är diskriminerande”.

    Överväg ett annat exempel på en kvadratisk ekvation.

    I denna form är det ganska svårt att bestämma koefficienterna "a", "b" och "c". Låt oss först föra ekvationen till den allmänna formen "ax 2 + bx + c = 0".

    Nu kan du använda formeln för rötter.

    x1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    x1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    x1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    x1,2 =
    6 ± 0
    2

    x =
    6
    2

    x = 3
    Svar: x = 3

    Det finns tillfällen då det inte finns några rötter i kvadratiska ekvationer. Denna situation uppstår när ett negativt tal visas i formeln under roten.

    Vi kommer ihåg från definitionen av kvadratroten att det är omöjligt att extrahera kvadratroten från ett negativt tal.

    Tänk på ett exempel på en kvadratisk ekvation som inte har några rötter.

    5x 2 + 2x = - 3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    x1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    x1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    x1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    Svar: det finns inga giltiga rötter.

    Så vi fick en situation där ett negativt tal ligger under roten. Detta betyder att det inte finns några rötter i ekvationen. Därför skrev vi som svar "Inga riktiga rötter".

    Vad betyder orden "inga riktiga rötter"? Varför kan du inte bara skriva "inga rötter"?

    I själva verket finns det rötter i sådana fall, men de går inte igenom skolplanen. Därför registrerar vi att det inte finns några rötter bland verkliga siffror. Med andra ord, "Det finns inga riktiga rötter."

    Pin
    Send
    Share
    Send
    Send