Användbara tips

Tema 2

Pin
Send
Share
Send
Send


Sammansatt intresse - det är inget annat än en exponent eller exponentiell funktion. De kallas också ”ränta på ränta” eller sammansatt ränta (eng. sammansatt ränta) och använder dem ofta i ekonomiska frågor. Vanliga procentsatser används också, men tillväxthastigheterna mellan dem skiljer sig väsentligt. Den vanliga procenten motsvarar en linjär funktion. Men i monetära frågor använder de inte kontinuiteten i argumentet, som i matematisk analys; här är det bättre att prata om framsteg: geometriska respektive aritmetiska.

Båda dessa framsteg är sekvenser med siffror definierade av de enklaste rekursiva formlerna. De kan beskrivas nästan utan matematik på fingrarna.

Till exempel en geometrisk progression:

  1. vi har den första medlemmen X1,
  2. varje nästa medlem i sekvensen är lika med den föregående, multiplicerad med ett konstant tal r (nämnare av geometrisk progression). En formel visas nedan.

I denna formel, om r mer än en, då kommer varje efterföljande medlem att vara större än den föregående, som regel är det detta som vanligtvis krävs av sammansatt ränta. En geometrisk progression bildas av produkten från varandra medlemmar i denna sekvens. För att förstå hur beräkningen av sammansatt ränta fungerar beräknar vi till exempel den tredje termen i en sådan sekvens, med början med den första:

Aritmetisk progression skiljer sig från geometrisk endast genom att konstanten (kallas skillnaden för progressionen) inte multiplicerar utan läggs till den föregående termen för att få nästa.

Grundläggande sammansatt ränteformel

I följande formel använder vi en något annan post, mer bekväm för att arbeta med procenttal.

  • X - slutresultatet av ackumuleringen
  • X0- initialvärde, inträdesavgift
  • r - höjningsgrad, ränta
  • n - antalet perioder med ackumulering

r - alltid ett positivt antal, i praktiken är det vanligtvis litet. Vad kan denna formel ge oss? Med det kan vi beräkna en hel del saker, men det är bättre att börja med det enklaste.

Låt banken vi litar erbjuda att göra en insättning till 8,5% per år. Det betyder att vårt kapital varje år kommer att öka med 8,5%.

Vissa människor tror naivt (det finns fortfarande vissa!) Att de ökar bidraget alltid Det handlar bara om utbetalningen, följt av en direkt proportionell ökning, oberoende av tid (enkel ränta). Detta används också av skurkar. Till exempel använde Karl Marx en gång ett sådant bedrägeri för att lura miljontals människor, med alla de konsekvenser som vi vet. Men detta är ett annat och stort ämne. I själva verket använder banker både enkel ränta och komplexa för olika insättningar och lån.

Faktum är att vårt kapital kommer att växa snabbare. Låt oss ge ett engångsbidrag till 12 000 rubel under 10 år. Sedan, även i den enklaste kalkylatorn, kan vi beräkna vad vi kan göra med åtta och en halv procent:

r = 1 + 0,085 = 1,085

Sedan multiplicera r av sig själv 10 gånger (detta kan göras genom att trycka på knapparna: 1,085 x 2 x 2 * 1,085 = x 2 = ). Skaffa numret 2,260983442. Vi multiplicerar detta nummer med den första betalningen och får vårt totala belopp på kontot: 27.131 rubel 80 kopek.

Det bör noteras att i banksoftware, i stället för riktiga siffror för pengar, används speciella valutaformat. Detta eliminerar missförstånd och missbruk i samband med beräkningsfel.

Jämför med en enkel aritmetisk progression. Realisationsvinster för det första året: 12 000 * 1,085 - 12 000 = 12 000 * 0,085 = 1020 rubel. Om 10 år kommer detta att uppgå till 10 200 rubel. Om du lägger till ökningen i utbetalningen får du allt 22 200 rubel. Skillnaden är betydande: 493,80 rubel.

Räntorna är ofta ganska höga och då blir tillväxten av kapital fantastisk. Men sådan är risken. Omvänt betyder mycket låga räntor alltid större tillförlitlighet. Men för en bra vinst på en acceptabel tid måste du ha mycket kapital.

Hur mycket ökade kapitalet på en månad, om räntan är årlig

Kapitaliseringsperioden är inte alltid årlig, ibland beräknas den en gång i månaden och under bankdatornät har du råd med lyxen att räkna ut ränta dagligen. Beräkning av sammansatt ränta för vilken period som helst det är möjligt enligt en annan formel, som används i banker:

  • p - procent per år
  • d - aktiveringsperiod, dagar
  • y - antalet dagar under innevarande kalenderår

De återstående parametrarna för formeln är desamma som tidigare. Nu skulle det vara möjligt att gå vidare till andra traditionella uppgifter relaterade till intresse, men det är bättre att titta på de andra möjligheterna som vi nu har för allas hand.

Använda kontorsprogram för att arbeta med ränta

Varje kontorssvit, nämligen dess kalkylarkprocessor, erbjuder många funktioner för kontantavveckling: från det enklaste till det mest komplexa. Välj bara den rätta (eller flera) för att sammanställa dina formler. Om du använder förmågan att programmera i VBA i Excel kan du få snabbare resultat i beräkningarna. När en sammansatt ränta beräknas, kan formeln vara den enklaste rekursionen utan grader och logaritmer. En cykel med en parameter i antalet periodiseringsperioder gör allt. Om det behövs kan du enkelt lägga till mängden periodisk investering utan att fundera över härledningen eller söka efter formler.

I exemplet som visas nedan används det dock inte MS Excel, utan Libreoffice calc, Är Excel's tvilling för UNIX-liknande operativsystem. Men detta förändrar i princip ingenting alls. Makrokoden för OOBasic, även om den skiljer sig från Excel, finns bara i tekniska detaljer.

I exemplet i figuren ovan beräknar vi både sammansatt och enkel ränta på en insättning på 8,6% per år. Ränta periodiseras varje år och bidraget beräknas i 18 år i förväg. Det initiala bidraget på 25 tusen rubel gör vi (villkorat) 1 januari 2017. Om vi ​​vill jämföra graferna för dessa resultat, som naturligtvis är mer visuella, välkomna till nästa ark, där denna graf är väldigt lätt att infoga.

Ett exempel visar att sammansatt ränta under den senaste perioden är dubbelt så hög som enkel.

Ett annat exempel. Du kan enkelt byta om vår modell och ta bort begränsningen för årlig aktivering. Då kan vi lösa ett annat problem. Anta att vi har öppnat ett centkonto på Forex-börsen och vill delta i valutahandel. Med tanke på att vi kan samvetsgrant arbeta med information att växa med 10% per dag (vilket kanske är lite presumtivt, men Gud välsigne honom), låt oss se vad som kommer ut av en insättning på tusen rubel per månad, d.v.s. 22 arbetsdagar. För att göra detta, ändra formeln för vår konstant faktor något:

Nu har vi tagit bort den (ganska konstgjorda) begränsningen av den årliga berättelsen om intresse. Och vi får följande bild:

Och på grafen kan vi se tillväxten och skillnaden mellan sammansatt och vanlig procent:

Och här kan du se skillnaden mellan enkel och sammansatt ränta.

2,1. Sammansatta räntor

Avräkningar med enkla räntor är ganska enkla och enkla. De är dock av begränsad användning.

Anta att en bank betalar enkel ränta i tre år med en ränta på i. Med en första insättning som är lika med P, kommer insättaren att ha beloppet S på kontot under ett år1:

S1 = P (1 + i),

efter 2 år - mängden S 2:

S2 = P (1 + 2i),

efter 3 år - S 3:

S3 = P (1 + 3 i).

Insättaren kan dock stänga kontot på ett år, få beloppet S 1, inklusive ränta, och lägga detta belopp på ett nytt konto. I slutet av nästa år kan han upprepa denna operation. Som ett resultat, efter det första året, kommer han att få summan S '1 lika med föregående belopp S1:

S = s1 = P (1 + i),

efter det andra året, det nya beloppet S '1:

efter det tredje året, beloppet S '3:

De nya beloppen kommer att vara större än de tidigare, eftersom de inte bara innehåller ränta på det initiala bidraget, utan också på tidigare upplupna räntor. I matematisk form motsvarar detta ojämlikheterna:

Således är det fördelaktigt för insättaren att ta ut pengar från kontot och sätta in dem på ett annat konto. Att genomföra en sådan operation varje kvartal är mer lönsamt än varje år och varje månad är mer lönsamt än varje kvartal. Ju oftare en investerare överför pengar, desto mer inkomst kommer han att få. Följaktligen kommer en betydande del av bankinsättare att försöka genomföra en sådan operation.

För banken är detta full av olika slags svårigheter i arbetet. För det första, för sådana transaktioner behöver banken hålla en extra reserv med kontanter. För det andra komplicerar överflödet av sådana transaktioner det nuvarande bankarbetet. Slutligen, för det tredje, kan insättaren, efter att ha stängt kontot, lägga de mottagna pengarna till en annan bank, vars villkor för tillfället verkar honom mer gynnsamma.

I detta avseende tar bankerna själva initiativet att genomföra en sådan operation. Räntan som uppkommer på insättningen läggs till insättningen, så att nya räntor samlas på det ökade beloppet, inklusive de tidigare upplupna räntorna. Denna operation kallas beräkningen av sammansatt ränta.

Tillväxten av beloppet i enlighet med sammansatt ränta kan föreställas som en ökning av enkel ränta tillämpad på ett ökande belopp som inkluderar tidigare upplupen ränta, dvs som en periodisk återinvestering av medel investerade till enkel ränta i varje periodiseringsperiod.

I praktiken, vid beräkning av sammansatt ränta, tas vanligtvis en viss tidsperiod för en standard periodiseringsperiod (år, kvartal, månad etc.) och sedan beräknas ränta som beräknas för sådana identiska standardperioder ytterligare. Med andra ord betraktas tid i sådana beräkningar som en diskret mängd, mätt med standardperioder. Samtidigt pratar de om diskreta procentsatser.

Om vi ​​minskar längden på ett sådant standardintervall, flyttar från en fjärdedel till en månad, en vecka, en dag etc., kommer vi i gränsen att flytta från diskreta procenttal till kontinuerliga procent, beräknat för en oändligt liten tidsperiod.

2.1.1. Beloppstillväxt till en sammansatt ränta

Låt initialbeloppet vara lika med P och det växer i enlighet med en sammansatt ränta lika med i under en tidsperiod. Efter n sådana perioder kommer den ökade mängden S att bestämmas med följande formel (formel för sammansatt ränta):

S = P (1 + i) n

Värdet (1 + i) n kallas vanligtvis tillväxtkoefficienten eller tillväxtfaktorn. Det visar hur mycket pengar varje rubel av initialt investerade medel kommer att förvandlas efter n perioder.

Om du beräknar det ackumulerade beloppet tillsammans med ränta i följd för varje år

för det första året:

för andra året:

för femte året:

då får vi att summan av pengar som mottas är medlemmar i en geometrisk progression, där den första medlemmen är värdet på P, och nämnaren för progressionen är (1 + i)

Om du använder återinvesteringsoperationen när du beräknar sammansatt ränta med formeln, det vill säga, ta ut pengar från kontot tillsammans med ränta och sätta tillbaka dem på kontot, kommer investeraren inte att vinna någonting med samma ränta.

Låt faktiskt insättaren sätta in pengar på P-kontot på villkoren för beräkning av sammansatt ränta. Efter k-perioder drog han tillbaka pengar från kontot och satte dem igen under ytterligare m-perioder. Sedan efter de första k perioderna kommer han att få summan Q:

Q = P (1 + i) k.

Då förvandlas denna summa Q efter ytterligare m perioder till en ny summa S:

S = Q (1 + i) m.

Att uttrycka den slutliga summan S genom den initiala P, får vi:

S = Q (1 + i) m = P (1 + i) k (1 + i) m = P (1 + i) k + m.

Således är resultatet exakt detsamma som om investeraren inte genomförde en mellanoperation, utan helt enkelt sätta det initiala beloppet P på det totala antalet tidsperioder lika med k + m.

2.1.2. Mängdökning med icke-heltalstiden

I praktiken med finansiella organisationer periodiseras ibland ränta endast för ett heltal antal perioder. Om detta inte förutses används olika metoder för beräkning av ränta för ett heltal.

Periodisering för ett heltal antal perioder kan utföras med samma sammansatta ränteformel som för ett heltal. Om du till exempel vill beräkna det ökade beloppet under 5,2 perioder utförs beräkningen i detta fall enligt formeln

S = P (1 + i) 5 (1 + i) 0,2 = P (1 + i) 5.2.

Med andra ord, för ett bråknummer 0,2 av en period beräknas ränta enligt samma schema som för ett heltal antal perioder. Detta tillåter dig att skriva en allmän formel för ränta för alla tider:

S = P (1 + i) t,

oavsett om det innehåller ett heltal eller ett heltal antal perioder.

I vissa fall utförs periodisering för ett icke heltal antal perioder enligt en annan blandad formel. För ett heltal antal perioder periodiseras ränta med sammansatt ränteformel, och för en bråkbalans - enligt formel för enkel ränta. I detta fall kommer periodiseringar under 5,2 perioder att utföras enligt formeln

S = P (1 + i) 5 (1 + i 0,2).

Man bör komma ihåg att det upplupna beloppet i detta fall kommer att vara något större än vid beräkning av den första metoden.

Slutligen, som noterats ovan, ibland för den bråkdela av perioden samlas inte ränta alls. I detta fall bestäms periodiseringen under 5,2 perioder med formeln

S = P (1 + i) 5.

2.1.3. Komplex variabel hastighet och geometriskt medelvärde

Vanligtvis anges en fast ränta i villkoren för kontraktet. I vissa fall kan dock en variabel ränta överenskommas. Detta är vanligtvis förknippat med inflationsprocessen, vilket minskar tillväxten i den verkliga mängden pengar, eller med en förändring i växelkursen, som kontraktens villkor är förknippade med.

I dessa och liknande fall fastställs en förändring av räntan.

Överväg en situation med en variabel räntesats. Anta att i det första tidsintervallet för längd t 1 är insatsen lika med i 1, i det andra intervallet för längd t 2 är insatsen lika med i 2, i det tredje intervallet för längd t 3 är insatsen lika med i 3, etc. Spalterna, som tidigare, kan ha olika längder .

Tänk på sådana intervall med längden t 1, t 2. t n. Bidraget med en komplex variabel ränta vid slutet av den sista perioden kommer att vara:

Vi definierar den genomsnittliga räntan i för insättningen till en komplex rörlig ränta.

Låt, som tidigare, T vara den totala terminen för insättningen till en varierande ränta

a är fraktionen av intervallet tk under denna totala term:

Den genomsnittliga räntan i uppfyller per definition följande villkor: om den ersätts i tillväxtformeln istället för var och en av räntorna i k, kommer inte beräkningsresultatet att ändras. På detta sätt:

Härifrån får vi formeln för (1 + i) - medelvärdet på tillväxtkoefficienten per tidsenhet:

Slutligen är den genomsnittliga sammansatta räntan i sig själv:

Enligt formeln för den genomsnittliga tillväxtkoefficienten (1 + i) är det det vägda genomsnittet av de geometriska tillväxtkoefficienterna för individuella tidsintervall. Vägningsfaktorerna är andelarna i motsvarande tidsintervall under den totala depositionens löptid.

Tillväxtfaktorer för de tidsperioder som har en relativt stor längd kommer att inkluderas i det slutliga vägda genomsnittet med en stor vikt.

I det specifika fallet, när längderna för alla tidsperioder är lika med varandra, är andelen av var och en av dem 1 / n, och det vägda genomsnittet ändras till det vanliga geometriska medelvärdet:

2.1.4. Beräkningen av inflationen

Inflationsgraden under en viss tid kännetecknar den procentuella höjningen av prisnivån för en viss period.

Anta att inflationstakten för januari, februari och mars är kända. Beteckna med h 1, h 2, h 3 inflationstakten för dessa tre månader.

Hur beräknas inflationstakten h q1 för hela det första kvartalet?

Det är felaktigt att tro att inflationen per kvartal är lika med summan av tre månatliga räntor, dvs.

h q1 = h 1 + h2 + h 3.

Detta är naturligtvis inte så. Denna formel tar inte hänsyn till att inflationen i februari kännetecknar en procentuell prisökning i förhållande till priser som redan har stigit i januari och inflationen i mars indikerar en procentuell prisökning relativt till februaripriserna.

Således bör inflationstakten över flera perioder inkludera redovisning av ränta på ränta, som i beräkningar med en sammansatt ränta.

Med fel metod behandlar vi inflationen som med enkla räntor. Det rätta sättet kräver att de behandlas som komplexa satsningar. Tänk på rätt sätt.

Först måste du ta fart för att beräkna tillväxtindex (tillväxttakt) för priserna i varje månad.

Pristillväxtindex uttrycks med följande formel:

där q är antalet varor som beaktas vid beräkning av prisökningsindex,

p - priser på varor som beaktas vid beräkning av prisökningsindex under basperioden.

p-priser för samma varor under rapporteringsperioden.

Pristillväxtindex för n på varandra följande perioder

Inflationshastigheten uttrycks med formeln:

Således bestäms tillväxtindexema I, I, I, 3 med formlerna:

I 1, = 1 + h1, I2, = 1 + h2, I 3, = 1 + h3.

Varje index visar hur många gånger prisnivån för en given månad har förändrats. Produkten från dessa index ger kvartalsindex I kvartal1. Kvartalsindexet I kvartal1 visar hur många gånger prisnivån för det första kvartalet har förändrats:

I q1 = I 1 * I 2 * I 3.

För att få den kvartalsvisa inflationen, dra enheten från kvartalsindexet:

h q1 = I q1 - 1.

Således får vi som ett resultat

h q1 = I q1 - 1 = I 1 * I 2 * I 3 - 1 = (1 + h 1) * (1 + h2) * (1 + h 3) - 1.

Under olika månader kan inflationen variera. Hur beräknar man den genomsnittliga månatliga inflationstakten h srmes under kvartalet? För att göra detta måste du först beräkna det genomsnittliga månadsindex I srmes enligt formeln

Затем среднемесячный темп инфляции h срмес получается вычитанием 1 из среднемесячного индекса:

h срмес = I срмес — 1.

Таким образом, итоговая формула расчета имеет вид:

Она полностью аналогична формуле средней сложной процентной ставки.

2.2. Годовые, квартальные, месячные ставки процента

Sammansatt ränta beräknas ofta inte en gång, utan flera gånger per år, varje kvartal, varje månad osv. I detta fall anges den nominella räntan i vanligtvis i kontraktet, som bestämmer räntan i varje periodiseringsperiod (för kvartalsvis periodisering, med månad, etc.).

2.2.1. Balanserade räntesatser

Formler som relaterar räntor till varandra under olika tidsperioder kan erhållas med hjälp av principen om ekonomisk ekvivalens av resultat.

Det finansiella resultatet för året som erhålls med den årliga räntan bör vara lika med det finansiella resultatet för fyra kvartal i rad beräknat med hjälp av sammansatt ränteformel för motsvarande kvartalsränta. Därför får vi jämställdhet:

Avledningen av formlerna talade om likvärdigheten i årets finansiella resultat. Det är viktigt att notera att resultatens ekvivalens inte bara säkerställs för det årliga, utan också för en viss tidsperiod.

Låt tidsperioden beräknad i år vara n (antalet n är inte nödvändigtvis ett heltal). Då innehåller detta gap 4 . n kvartal. Ökningarna på den årliga och motsvarande kvartalsräntan för denna tidsperiod är lika med varandra,

Vi har upprättat en relation mellan års- och kvartalsräntor. Samma resonemang tillåter oss att bilda en relation mellan årliga, kvartalsvisa och månatliga räntor:

Tänk på situationen i allmänna termer. Låt ränteperioden i delas upp i m lika stora perioder. Sedan bestäms räntan i 'som är associerad med dessa intervaller genom räntan i i enlighet med förhållandet

(1 + i ') m = (1 + i).

i = (1 + i ') m - 1,

i '= (1 + i) 1 / m - 1.

På detta sätt kan en relation upprättas mellan räntor under två perioder. Låt perioderna t och t 'uttryckas i identiska enheter (år, månader, dagar etc.). Låt ränta i ställas in för period t, och ränta i 'för period t'. Dessa hastigheter är likvärdiga om de leder till samma resultat under lika stora perioder, det vill säga om motsvarande ackumuleringsfaktorer för lika stora perioder är lika.

Som ett enda intervall tar vi intervallet för txt '. Den innehåller perioder t i mängden t 'och perioder t' i mängden t. Ekvivalensvillkoret skrivs i form av jämlikhet:

(1 + i) t '= (1 + i') t.

Härifrån får vi formlerna som uttrycker en satsning genom en annan:

Vanligtvis anger kontrakt den årliga räntan. Det kallas i detta fall den nominella räntan. Räntesatser som motsvarar den för andra tidsperioder beräknade enligt ovanstående formler kallas balanserad (eller balansering).

Således pratar de om den nominella årliga räntan och balanserade (balanserande) halvårsvisa, kvartalsvisa, månatliga, dagliga räntorna.

2.2.2. Relativa räntor

I föregående stycke erhöll vi formler som gör det möjligt att konvertera den räntesats som är bunden till en periodiseringsperiod till en annan, motsvarande ränta, bunden till en annan periodiseringsperiod. I synnerhet tillåter dessa formler du att översätta den nominella årliga räntan till andra balanserade priser.

De resulterande formlerna är korrekta, men på grund av deras komplexitet är de inte alltid praktiska för praktisk användning. I praktiken av finansiella transaktioner ersätts dessa formler ofta av andra, enklare formler. I stället för en balanserad takt bestämmer dessa förenklade formler den så kallade relativa (relationella) hastigheten.

Det bör noteras att beräkningen av relativa priser, som är ganska enkel, leder till felaktiga resultat.

Låt den årliga räntan vara i år. Sedan beräknas den kvartalsvisa relativa hastigheten i q med formeln

Den månatliga relativa räntan i månaden bestäms av formeln

I allmänhet bestäms den relativa hastigheten för en tid t, mätt i år, av värdet:

i = iårt.

För kvartalet t = 1/4, för månaden t = 1/12, så från den sista allmänna formeln erhålls automatiskt sina specialfall för kvartals- och månadssatserna.

Tänk på situationen i allmänna termer. Anta att periodiseringsperioden är uppdelad i m lika stora intervaller. Sedan beräknas den relativa räntan i 'som är associerad med sådana intervaller med formeln

i = m i '

låter dig uttrycka det ursprungliga budet i via den relativa i '. Vi upprättar en relation mellan relativa räntor under två perioder. Låt tidsperioderna t och t 'mätas i samma enheter. För period t ställs in ränta i och för period t 'ränta i'. Dessa kurser betraktas i förhållande till varandra om de är relaterade till förhållandet:

dvs om de är lika per tidsenhet. I likvärdig form har denna jämlikhet formen

Härifrån får vi formlerna som låter dig uttrycka en satsning genom en annan:

Den nominella årskursen konverteras till den relativa kursen för halvåret, kvartalet, månaden genom att dela årskursen med motsvarande antal. En sådan övergång motsvarar transformationer med hjälp av formeln enkel ränta. Ytterligare transformationer relaterade till användningen av den relativa hastigheten utförs emellertid enligt sammansatta ränteformler.

Så, inlåningstillväxt över m månader till den nominella årliga räntan på sammansatt ränta beräknas med hjälp av den relativa räntan enligt följande. Beräkna den månatliga kursen i månaden med den årliga kursen i år:

och sedan, enligt sammansatt ränteformel, bestäms uppbyggnadskoefficienten under m månader. Den har ett värde:

En sådan beräkning leder till snedvridningar.

För m = 6 kan till exempel uppbyggnadskoefficienten med den relativa hastigheten beräknas på flera olika sätt. De kommer att leda till olika resultat.

En specifik beräkningsformel kan inte specificeras i de fall då var och en av parterna är redo att förena sig med de snedvridningar som härrör.

En exakt, distorsionsfri beräkning baseras på balanserade priser. Om avvikelser uppstår här beror detta inte på sakens väsentlighet utan uteslutande på beräkningarna. Noggrannheten ökar om ett större antal decimaler är involverade i beräkningarna eller om beräkningar utförs i vanliga bråk.

Beräkningar med relativa hastigheter introducerar alltid vissa distorsioner som inte kan elimineras genom att bara öka noggrannheten i beräkningarna.

2.2.3. Effektiv ränta

I praktiken använder de ofta relativa priser. Deras användning är förknippad med stor bekvämlighet (till nackdel för noggrannhet) och med den etablerade traditionen.

Men vid genomförande av en noggrann analys och i teoretiska studier används en balanserad takt. Hon heter också effektiv ränta.

Den effektiva räntan visar den relativa relativa inkomsten som uppstår under året i samband med upplupna räntor. Med andra ord, den effektiva räntan är den årliga sammansatta räntan som ger samma inkomstbelopp som den faktiska metoden för beräkning av ränta.

Om ränta samlas upp en gång per år motsvarar den effektiva räntan en komplex nominell ränta. Om räntor samlas ofta kan de effektiva och nominella räntorna vara numeriskt olika. Korrespondensen mellan dem beror på metoden för att beräkna ränta för enskilda perioder.

Om den faktiskt använda metoden för månatlig (kvartalsvis) räntekalkyl är baserad på balanserade räntor, sammanfaller den effektiva räntan med den nominella räntan. Om den verkligen tillämpade metoden för beräkning av månatliga (kvartalsvisa) räntor baseras på relativa räntor (eller vissa andra avvecklingssystem), kommer de effektiva och nominella räntorna att bli annorlunda.

2.3.1. Enkel tillväxtegenskaper med sammansatt ränta

Tänk på tillväxten av bidraget enligt formlerna för enkel och sammansatt ränta med samma ränta.

Låt ränta samlas i takt med i under en tid (till exempel i ett år). Därefter bestäms tillväxten av mängden över tiden t från det initiala värdet för P med följande formler:

- för enkel intresse:

S = P (1 + i t),

- för sammansatt ränta:

S = P (1 + i) t.

Avgifter för ett icke-heltal antal perioder utförs här enligt samma formel som för ett heltal. För enkla procent beror värdet på S på tiden t enligt lagen för en linjär funktion. För sammansatt ränta beror det på t enligt exponentiell lag. I fig. 2.1 diagram över sådana beroenden presenteras.

Fig. 2,1. Beloppstillväxt enligt formlerna för enkel och sammansatt ränta

Båda linjerna i figuren börjar vid en punkt. Vid t = 0:

Om längden på tidsintervallet t är mindre än periodens längd, ger enkel intresse en större ökning av mängden än komplex.

Grafen för den exponentiella funktionen ligger ovanför den raka linjen, och med ökande t ökar inte bara skillnaden mellan dem, utan också ökningen av denna avvikelse. Om inlåningstiden är längre än ränteöverföringsperioden, är det mer lönsamt för insättaren att samla upp enligt sammansatt ränteformel, och med tillväxten av insättningsperioden ökar denna förmån. Låntagaren är tvärtom mer lönsam att återbetala lånet med enkel ränta.

2.3.2. Dubblering av tidsformler

För att bedöma tillväxttakten för det monetära beloppet används ofta de så kallade fördubblingstidsformlerna. Sådana formler låter dig beräkna den period för vilken det investerade beloppet fördubblas.

Denna period beräknas genom att lösa ekvationen som bestämmer fördubblingen av släpfrekvensen.

För enkla intressen har ekvationen formen

1 + i t = 2.

För sammansatt ränta har ekvationen formen

Lösningen på denna ekvation är:

2.3.3. Sambandet mellan enkla och komplexa spel

Räntesatser är ekonomiskt likvärdiga om ersättningen av en ränta med en annan i kontraktet inte leder till en förändring av kontraktets ekonomiska resultat, till en förändring i förhållandet mellan parterna som är involverade i transaktionen.

Om tillväxt med en enkel ränta under en viss tid leder till samma resultat som tillväxt med en komplex ränta för samma tid, är dessa räntor ekonomiskt likvärdiga. Låt i och i vara enkla och komplexa räntor med samma periodiseringsperiod (till exempel årliga räntor). Vi motsvarar tillväxtfaktorerna med dessa hastigheter för tid t:

Härifrån kan man få formler som gör att man kan beräkna den ekvivalenta enkla med en komplex hastighet och bestämma den ekvivalenta komplexa med en enkel hastighet.

Observera att värdet på tidsintervallet t deltar i formlerna för att beräkna motsvarande satsningar. När du ändrar avståndets längd förändras också värdet på motsvarande hastighet.

Det följer direkt från de erhållna formlerna att vid t = 1, dvs när längden på den betraktade tidsperioden är lika med periodiseringsperioden, är ekvivalenta hastigheter lika med varandra:

om t = 1, då är jag n = i c.

Som vår tidigare resonemang visar är villkoren för motsvarande ränta i n och ic uppfyllda:

om t> 1, då i n> i c.

2.3.4. Kontinuerlig mängd tillväxt och styrka tillväxt

I bankpraxis används ofta en blandad form av ränteöverföring, i vilken en komplex årlig ränta översätts, till exempel, till en fjärdedel som inte är så komplex, utan så enkel. Ytterligare ränta beräknas med den sammansatta ränteformeln.

Till exempel tillkännager banken villkoren för insättningen som "48% per år med en kvartalsvis periodisering av ränta." Detta innebär att ränta läggs kvartalsvis till det ackumulerade värdet på bidraget och ränta tillkommit dem i framtiden. Detta är därför en komplex satsning. Själva kvartalsräntan beräknas emellertid med hjälp av formel för enkel ränta, dvs med formeln

Översatt till en sammansatt årskurs ger detta

dvs 57,35% per år istället för 48%. Resultatet är alltid för dyrt, så denna form av överföring är inte lönsam för banken själv. Det är fördelaktigt för bankkunder och används i praktiken.

Låt oss se vad detta kommer att leda till om vi gradvis minskar ränteberäkningsperioden. Anta att denna form av ränteöverföring inte tillämpas på kvartalet utan på månadsperioden.

Månadskursberäkning

bestämmer den årliga tillväxttakten

vilket motsvarar en ränta på 60,10% per år.

Anta att periodiseringsperioden minskar ytterligare, det vill säga att året delas upp i m lika stora tidsintervall och värdet på m växer. Då är den allmänna formeln för den nya årliga tillväxttakten enligt följande:

(1 + i / m) m.

I gränsen, vid, får vi e i. Dessutom bestäms bidragstillväxten över tiden t (mätt i år) av formeln

S = p e det.

Antalet e som är involverat i formeln är basen för de naturliga logaritmerna. Det spelar en viktig roll i matematisk analys av en mängd olika processer. nummer e - irrationell, dess betydelse är

Baslogaritmer e kallas naturliga logaritmer och betecknas av ln. I en Excel-kalkylarkprocessor är motsvarande funktion märkt LN.

Vi kom till begreppet kontinuerligt intresse genom en blandad form av periodisering, genom en kombination av beräkningar till en enkel och komplex takt. Den blandade formen är dock inte viktig här. Endast deltagande av en komplex satsning är avgörande.

Från begreppet komplex takt till begreppet kontinuerligt intresse kan man gå på ett annat sätt. För detta är en sammansatt ränteformel som bestämmer tillväxten av den initiala mängden P tillräcklig:

S = P (1 + i) t,

skriva i en annan, likvärdig form.

Formeln för sammansatt ränta bestämmer tillväxten av beloppet enligt lagen om exponentiell funktion. Grunden för denna funktion är värdet (1 + i). För olika räntor i är skälen olika. Formeln för sammansatt ränta för kontinuerlig tid transformeras på ett sådant sätt att basen i olika hastigheter visar sig vara densamma och exponenten ändras.

Låt bokstaven beteckna den naturliga logaritmen för värdet (1 + i):

Således kan formeln för sammansatt ränta ersättas med den ekvivalenta formeln:

Denna formel används vanligtvis i analysen av den kontinuerliga tillväxten av mängden pengar.

I denna formel kännetecknar värdet a tillväxthastigheten för summan. Värdet på α kallas tillväxtkraft, eller med intresse. Det är lika med hastigheten för den relativa ökningen i mängden, dvs den är lika med den relativa ökningen i mängden under en oändligt liten tidsperiod. Räntekraften är en speciell typ av ränta utformad för att studera processen för att växa det monetära beloppet i kontinuerlig tid.

Tillväxtstyrkan är nära relaterad till räntan. Ju högre ränta i, desto större är tillväxttakten α, och vice versa, desto större tillväxttakt α, desto högre är räntan. Förhållandet mellan dem är emellertid inte ett direkt proportionellt, linjärt förhållande. Den har en logaritmisk karaktär.

För små värden sammanfaller räntan nästan med tillväxtstyrkan, men med en ökning av räntan ökar skillnaderna mellan deras numeriska värden. I det här fallet är räntan i dess numeriska värde alltid större än tillväxtstyrkan.

Det bör betonas att dessa skillnader inte leder till skillnader i monetär tillväxt. Tvärtom, motsvarande varandra, men numeriskt ger olika värden på räntor och tillväxtkrafter samma ökning av mängden pengar under samma tidsperioder.

2.4.1. Diskontering till en sammansatt ränta

Diskontering är en transaktion som gör det möjligt för framtida pengar att komma till det aktuella ögonblicket i tid. Denna operation låter dig bestämma det aktuella värdet för det framtida beloppet. Ovanstående övervägde vi diskontering till en enkel ränta. Sådan diskontering innebär en ökning av mängden pengar enligt enkla ränteformler. Nu överväger vi att diskontera till en sammansatt ränta motsvarande en ökning av mängden pengar med sammansatt ränteformel.

Det initiala beloppet P enligt formeln för sammansatt ränta med en ränta i för tid t förvandlas till beloppet S:

Det följer det

Denna formel tillåter diskontering, dvs från det slutliga värdet S, bestäm det initiala värdet P. Faktorn

kallas rabattfaktorn över tid t. Det är det ömsesidiga tillväxtfaktorn. Värdet P kallas det moderna eller reducerade värdet S. Det kallas också det värde som erhålls genom diskontering av S. Skillnaden S - P kallas rabatten och benämns vanligtvis med bokstaven D:

D = S - P.

Diskonteringsoperationen är den omvända av beloppstillväxtoperationen. Därför är diskonteringsegenskaperna nära relaterade till byggnadens egenskaper. Ovanför gjordes en jämförelse av tillväxt för enkel och sammansatt ränta. För diskontering finns det omvända relationer.

Om tidsperioden är mindre än periodiseringsperioden (till exempel ett år), ger tillväxt i enkelränta ett större belopp än tillväxt i sammansatt ränta. Diskontering till enkel ränta ger ett mindre belopp än diskontering till sammansatt ränta.

Om tidsperioden är längre än periodiseringsperioden ger en högre ränta en större ökning av beloppet. Men en komplex ränta ger ett lägre värde till en rabatt.

Rabattering kan göras inte bara för diskreta utan även för kontinuerlig tidsmätning. Från en formel för kontinuerlig tid med användning av formens tillväxtkrafter

vi får rabattformeln:

används i rabattberäkningar med kontinuerlig tid.

2.4.2. Sammansatt diskonteringsränta

Vid bokföringstransaktioner används både enkla och komplexa diskonteringsräntor. Процедуры расчетов с простой учетной ставкой были изучены выше. Теперь мы рассмотрим соответствующие процедуры для сложной учетной ставки.

Простая учетная ставка при дисконтировании применяется к одной и той же первоначальной сумме, снижение этой суммы по периодам времени происходит равномерно.

Den sammansatta diskonteringsräntan vid varje steg i rabatten tillämpas inte på det initiala beloppet, utan på det belopp som reduceras med det rabattbelopp som bestämts i föregående steg. Processen med diskontering avtar samtidigt.

Om det slutliga beloppet är S och diskonteringsräntan är d, ger diskonteringen till en komplex diskonteringsränta för t-perioder det initiala beloppet P bestämt med formeln

2,5. Årliga, kvartalsvisa, månatliga diskonteringsräntor

Ovan undersökte vi övergången från en årlig sammansatt ränta till en kvartalsvis, månadsvis och annan sammansatt ränta. Mer generellt motsvarar detta en övergång från en ränta med en periodiseringsperiod till en ränta med en annan periodiseringsperiod. Två övergångsmetoder studerades: övergången till en balanserad takt och övergången till en relativ hastighet. Fördelen med den första metoden är dess noggrannhet, fördelen med den andra metoden är dess enkelhet.

Övergången från den årliga diskonteringsräntan till kvartals-, månads- och andra räntor genomförs på samma två sätt. En av dem ger en balanserad diskonteringsränta, och den andra låter dig få en relativ diskonteringsränta. Låt oss överväga dem i ordning.

2.5.1. Balanserade diskonteringsräntor

Balanserade diskonteringsräntor fastställs i enlighet med principen om finansiell ekvivalens av resultat.

Det ekonomiska resultatet som erhållits för året till en årlig diskonteringsränta på d år bör vara lika med det resultat som erhållits under fyra kvartal med en komplex diskonteringsränta på d kvadrat. Med andra ord måste jämställdhet hålla.

Härifrån får vi formler som tillåter

Titta på videon: Tema2 Parte 1 (December 2022).

Pin
Send
Share
Send
Send